Відкрите суспільство і його вороги - Поппер K.

навіть якщо він, певно, і не мав у своєму розпорядженні неспростовного доказу свого припущення. (Вперше це твердження, очевидно, спростував Евклід.) У тому ж фрагменті з «Тімея», де Платон викладає свої міркування, чому він віддав перевагу субелементарним трикутникам, є одне незаперечне посилання на певну недоведену гіпотезу, про яку він пише («Тімей», 53 c-d): «усі трикутники можна вивести з двох, що мають по одному прямому куту і по два гострих, але при цьому в одного (півквадрата) по обидва боки від прямого кута лежать рівні кути величиною в одну й ту саму частку прямого кута, обмежені рівними сторонами, а в іншого (піврівнобедреника) — нерівні кути, обмежені нерівними сторонами. Саме в них, ми припускаємо, початок... усіх інших тіл, покладаючись у цьому на ймовірність (чи вірогідне припущення), поєднану з необхідністю (доказом). Принципи, віддалені ще більше, ніж ці два, відомі лише богам, а з людей їх знають тільки ті, кого вподобають на небесах». І далі, пояснивши, що є безліч нерівнобедрених трикутників, з яких слід обирати найкращі, й, сказавши, що цими найкращими є половинки рівнобедреників, Платон мовить («Тімей», 54 а-b; Корнфорд був змушений пом'якшити цей уривок, щоб вкласти його в рамки своєї інтерпретації; див. його прим. 3 до ст. 214): «Це вимагає занадто довгого обгрунтування, але якби комусь пощастило дослідити це питання і довести саме такі властивості, то ми із задоволенням визнали б таку людину переможцем». Платон не пояснює, що він має на увазі під «такими властивостями», — певно, це якась (гіпотетична) математична властивість, що виправдовує твердження, згідно з яким після вибору трикутника, який містить √2, «найкращим вибором» буде трикутник, що містить у собі √3. З огляду на наведені вище міркування, я вважаю, що ця Платонова властивість була гаданою відносною раціональністю інших ірраціональних величин, тобто величиною, співвідносною з одиницею, квадратним коренем з двох та квадратним коренем з трьох.

Мал. 1. Платонів елементарний квадрат, побудований з чотирьох субелементарних рівнобедрених прямокутних трикутників

Мал. 2. Платонів елементарний рівносторонній трикутник, побудований з шести субелементарних нерівнобедрених трикутників

Мал. 3. Прямокутник ABCD, площа якого перевищує площу кола менше, ніж на півтори тисячні

(4) Додатковим доказом на користь нашої інтерпретації, хоча я й не знайшов у Платонових текстах хоч якихось свідоцтв, що підтверджували його, можуть послужити викладені далі міркування. Цікаво, що сума √2+√3 дуже близька до значення числа π. (Див. Е. Borel. Span and Time, 1926, 1960, p. 216; мою увагу до цього факту, щоправда в іншому контексті, привернув В. Марінеллі.) Неточність тут складає лише 0,0047, тобто менше ніж півтори тисячних від значення числа π. Навряд у той час було відоме точніше значення числа π. Одне з пояснень цього цікавого факту може полягати в тому, що середнє арифметичне площ окресленого шестикутника та вписаного восьмикутника є добрим наближенням до площі кола. Тепер стає зрозумілим, що, з одного боку, Брайсон досліджував властивості окреслених та вписаних багатокутників (див. T.Heath, op. cit., p. 224), а, з другого боку, що Платон цікавився додаванням ірраціональних величин, а отже, повинен був спробувати здобути суму √2+√3. Отже, є два способи, за допомогою яких Платон міг би здобути приблизну рівність √2+√3≈π, і другий з цих способів був настільки очевидним, що Платон, певно, не міг не помітити його. Цілком вірогідно, що Платон знав цю рівність, але не міг довести, чи є вона вираженням точної рівності, чи лише наближенням.

Але якщо це й справді так, тоді ми, певно, можемо відповісти на «друге питання», згадане у пункті (3), а саме, питання, чому Платон побудував свій елементарний квадрат із чотирьох субелементарних трикутників (півквадратів), а не з двох, і елементарний рівнобедреник з шести субелементарних трикутників (піврівнобедреників), а не з двох. Якщо поглянути на перший з двох наведених вище малюнків, то ми побачимо, що ці побудови наголошують на центрі окреслених та вписаних кіл, і в обох випадках, на радіусах окресленого кола. (У випадку з рівнобедреником на малюнку є також радіус вписаного кола, але очевидно, що Платон мав на увазі окреслене коло, оскільки він називав радіус «діагоналлю», коли описував метод побудови рівнобедреника; див. «Тімей», 54 d-e та 54 b.)

Якщо ми тепер візьмемо ці два окреслені кола, або точніше, впишемо елементарні квадрат та рівнобедреник у коло з радіусом r, то виявимо, що сума сторін цих двох фігур наближається до rπ. Інакше кажучи, Платонова побудова пропонує одне з найпростіших розв'язань проблеми квадратури кола, що й доводять три наші малюнки. У світлі сказаного можна припустити, що Платонова гіпотеза, а також його готовність «визнати переможцем» того, хто зможе довести його правоту, про що ми говорили у пункті (3), зачіпають не лише загальну проблему спільномірності ірраціональних величин, але також і специфічні проблеми того, чи відповідає сума √2+√3 площі одиничного кола.

Я повинен ще раз наголосити, що мені невідомий жоден прямий доказ того, наче Платон мав на увазі саме це. Але, якщо зважити на непрямі свідоцтва, наведені мною тут, то моя гіпотеза не видасться абсолютно безпідставною. Я не думаю, що вона менш обгрунтована, ніж гіпотеза, висунута Корнфордом, і якщо вона справедлива, то ми здобуваємо переконливіше пояснення відповідних уривків.

(5) Якщо у нашому твердженні, висунутому в пункті (2) цієї примітки, є бодай якийсь смисл, що Платонове гасло про необхідність знання, крім арифметики, ще й геометрії, так само як і в припущенні, що цей наголос було зроблено у зв'язку з відкриттям ірраціональності квадратних коренів із двох та трьох, тоді це до певної міри може прояснити також Платонову теорію «ідей» та зміст широковідомих Арістотелевих зауважень з цього приводу. Ці міркування допомогли б нам пояснити чому, у світлі цього відкриття, піфагорейське уявлення про те, що речі (форми, тіла) є числами, а моральні ідеї — співвідношеннями чисел, повинно було зникнути чи, можливо, поступитися місцем, як це відбулося в «Тімеї», доктрині, згідно з якою елементарні форми або границі («peras»; див. уривок з «Менона», VI d-75 а, який згадувався раніше), чи форми або ідеї речей є трикутниками. І водночас ми одержали б пояснення, чому лише через одне покоління Академія повернулася до піфагорейської доктрини. Як тільки забулося потрясіння від відкриття ірраціональності, математики почали звикати до ідеї, що ірраціональні величини повинні бути числами, незважаючи ні на що, оскільки вони перебувають в елементарних співвідношеннях більшого чи меншого до інших (раціональних) чисел. На цьому