Відкрите суспільство і його вороги - Поппер K.
(1) У «Законах», 757 b-d Платон розглядає «два різновиди рівності». «Один із них... — це рівність міри, ваги, числа (тобто числова або арифметична рівність);та найкраща та найсправжніша рівність... більшого наділяє більшим, а меншого — меншим, віддаючи кожному належне відповідно до його природи... Вшановуючи найдоброчесніших та відмічаючи меншими почестями тих, хто має менше чеснот і гірше походження, вона кожному віддає належне відповідно до принципу (раціональних) пропорцій. І саме це ми назвемо «політичною справедливістю». І хто б не засновував державу, повинен зробити єдиною метою свого законодавства...: лише ту справедливість, що, як зазначалося, є природною рівністю і що відповідно до ситуації розподіляється між нерівними». Цей другий різновид рівності, який Платон тут називає «політичною справедливістю» (а Арістотель назвав «розподільчим правом») і описує (а слідом за ним і Арістотель) як «пропорційну рівність» — найсправжнішу, найкращу та найприроднішу рівність,— згодом отримав назву «геометричної» («Горгій», 508 а; див. також 465 b-с і Плутархову «Moralia», 719 b та наст.) рівності, що є протилежною нижчій та демократичній «арифметичній» рівності. Роз'яснення, наведені у пункті (2), певно, допоможуть навчитися розрізняти ці два різновиди.
(2) Згідно з переказом (див. Comm. in Arist. Graeca, pars XV, Berlin. 1879, p. 117, 29; pars XVIII, Berlin, 1900, p. 118, 18), напис над входом до Платонової Академії сповіщав: «Хай не переступить цей поріг той, хто не навчився геометрії!» На мою думку, це гасло не лише наголошувало на важливості математичних досліджень, а й означало: «Арифметики (а точніше, піфагорейської теорії чисел) мало — ви повинні знати геометрію!» Я спробую окреслити причини, які змусили мене вважати, що остання фраза адекватно підсумовує один із найважливіших Платонових внесків у науку. Див. також «Додаток І» до тому І.
Як тепер загальновідомо, трактування ранніми піфагорейцями геометрії методологічно дещо подібне до того, що нині називають «арифметизацією». Геометрію розглядали як теорію цілих чисел (чи «натуральних» чисел, тобто таких, що складаються з монад або «неподільних одиниць» — див. «Держава», 525 е) і як теорію їхнього «logoi», тобто «раціональних» пропорцій. Ось приклад: Піфагорові прямокутні трикутники — це трикутники, в яких сторони мають саме такі раціональні пропорції (3:4:5 або 5:12:13). Ось загальна формула визначення таких пропорцій, яку приписували Піфагору: 2n + 1 : 2n (n + 1) : 2n (n + 1) + 1. Але ця формула, виведена із «гномону», не досить універсальна, як доводить такий приклад — 8:15:17. Універсальною формулою, з якої виводиться Піфагорова шляхом підстановки m - n + 1, є m2-n2 : 2mn : m2+n2 (де m>n). Оскільки ця формула легко виводиться з так званої «теореми Піфагора» (якщо застосувати алгебраїчне зчислення, що було відоме раннім піфагорейцям) й оскільки ця формула, очевидно, не була відомою не лише Піфагору, але й Платону (який, згідно з Прокловим повідомленням, запропонував іншу неуніверсальну формулу), то можна припустити, що «теорема Піфагора» в її загальному вигляді не була відомою ані Піфагорові, ані Платону. (Не такі радикальні погляди на цю проблему виклав Т. Хіт у книжці Т. Heath. A History of Greek Mathematics, 1921, vol. I, pp. 80-82. Формула, охарактеризована мною як «універсальна», належить Евклідові. Її можна отримати з непотрібно ускладненої формули, наведеної Хітом на ст. 82, спершу здобувши значення трьох сторін трикутника, а потім помноживши їх на 2/mn, після чого підставити у відповіді m замість n та p замість g.)
Відкриття ірраціональності квадратного кореня з двох (про що Платон згадує у «Гіппії Великому» та «Меноні»; див. прим. 10 до розділу 8; див. також Арістотель. «Перша Аналітика», 41 а 26 та наст.) зруйнувало піфагорійську програму «арифметизації» геометрії, а заразом, певно, життєздатність самого піфагорейського Порядку. Переказ про те, що це відкриття спочатку тримали в таємниці, підтверджується тим фактом, що Платон спершу називав ірраціональне словом «arrhetos», тобто таємницею, захованою таїною; див. «Гіппій Великий», 303 b-с, «Держава», 546 с. (Згодом він став вживати термін «неспільномірність»; див. «Теетет», 147 с та «Закони», 820 с. Термін «alogos», здається, вперше застосував Демокріт, котрий написав дві книжки: «Про ірраціональні лінії та атоми» (або «Про ірраціональні лінії»), які було загублено. Платон знав цей термін, про що свідчить його зневажлива згадка про назву Дсмокрітової праці у «Державі», 534 d, але сам він ніколи не вживав його як синонім до терміна «arrhetos». З наявних джерел, уперше ми знаходимо використання «alogos» у такому значенні в Арістотеля у «Другій Аналітиці», 76 b 9. Див. також Т. Heath, op. cit., vol. I, p. 84 f„ p. 156 f. і мій «Додаток І» наприкінці першого тому.)
Крах піфагорейської програми, тобто арифметичного методу геометрії, очевидно, призвів до розробки Евклідового аксіоматичного методу, який, з одного боку, мав порятувати від загибелі те, що ще можна було врятувати (включно із методом раціонального доказу), а, з іншого боку, усвідомити факт незводимості геометрії до арифметики. З огляду на все це, цілком імовірно, що Платонова роль у переході від давнішого піфагорейського методу до Евклідового була вкрай важливою — по суті, він був одним із перших творців специфічно геометричного методу, спрямованого на врятування того, що ще можна було врятувати, і зменшення втрат від краху піфагореїзму. Більшість із сказаного слід розглядати як украй непевну історичну гіпотезу, втім, деякі підтвердження її можна виявити в Арістотелевій «Другій Аналітиці», 76 b 9 (яка вже згадувалася), зокрема, якщо порівняти цей уривок із «Законами», 818 с, 895 е (парне та непарне) та 819 е-820 а, 820 с (неспільномірність). Ось цей фрагмент: «Арифметика (досліджує) значення «парного» та «непарного», а геометрія — що таке «ірраціональне»... (або «неспільномірне»; див. «Першу Аналітику», 41 а 26 та наст., 50 а 37. Див. також «Метафізику», 983 а 20, 1061 b 1-3, де проблема ірраціональності трактується як властивість геометрії, та 1089 а, де, як і в «Другій Аналітиці», натяк на метод «квадратної стопи», про який ідеться у «Теететі», 147 d). Про глибоку зацікавленість Платона проблемою ірраціональності свідчать два уривки, що вже згадувалися: «Теетет», 147 с-148
