Відкрите суспільство і його вороги - Поппер K.

Далі я вважаю, що «Теорія первісних тіл» (у «Теететі» від 53 с до 62 с, а, можливо, навіть до 64 а; див. також «Держава», 528 b-d) була частиною Платонового розв'язання цієї проблеми. З одного боку, в теорії зберігся атомістичний характер піфагореїзму — неділимі частки («монади»), які відігравали важливу роль в атомістичних ученнях,— а з іншого боку, запроваджуються ірраціональні числа (квадратні корені з двох та трьох), існування яких вже неможливо було заперечувати. Робиться це за допомогою двох прямокутних трикутників; один утворюється з квадрата, розділеного діагоналлю, яка відноситься до сторони квадрата як корінь з двох, а другий трикутник є половиною рівнобедреного трикутника, поділеного навпіл висотою, яка відноситься до гіпотенузи як квадратний корінь з трьох. Ці трикутники вважаються основою для створення всього іншого. Справді, доктрина про те, що ці два ірраціональні трикутники є границями («peras»; див. «Менон», 75 d-76 а) чи «формами» всіх елементарних фізичних тіл, може бути названа однією з провідних фізичних доктрин, викладених у «Тімеї».

Усе це має підштовхнути до думки, що застереження проти тих, хто необізнаний з геометрією (натяк на це можна виявити в «Тімеї», 54 а), могло мати гострішу спрямованість, про яку ми говорили раніше, і що воно могло бути пов'язане з переконанням, що геометрія є чимось набагато важливішим за арифметику. (Див. «Тімей», 31 с.) А це, у свою чергу, пояснило б, чому Платонова «пропорційна рівність», яку він вважав аристократичнішою, порівняно до демократичної арифметичної або числової рівності, згодом була ототожнена з «геометричною рівністю», яку Платон згадує в «Горгії», 508 а (див, прим. 48 до цього розділу), і чому (от хоча б Плутархом, loc. cit.) арифметика та геометрія асоціювалися відповідно з демократією та спартанською аристократією — навіть попри той факт, про який згодом певно забули, що піфагорейці, подібно до Платона, були на боці аристократів і що в їхньому вченні головний наголос робився на арифметиці, а поняття «геометричний» для них означало певний різновид числової (тобто арифметичної) рівності.

(3) Для створення первісних тіл Платон звертається в «Тімеї» до розгляду елементарного квадрата й елементарного рівнобедреного трикутника, які у свою чергу складаються з двох різних типів субелементарних трикутників — половини квадрата, сторона якого кратна √2, і половини рівнобедреного трикутника, одна із сторін якого кратна √3. Питання про те, чому Платон обрав для розгляду саме ці два субелементарні трикутники замість того, щоб розглядати власне квадрат та рівнобедрений трикутник, багато дискутувалося. Дослідники Платонової спадщини також цікавилися, чому він будує свої елементарні квадрати з чотирьох субелементарних півквадратів, а не з двох, а елементарний рівнобедрений трикутник з шести півтрикутників, а не з двох (див. перші з двох малюнків, наведених далі, про друге питання йтиметься у пункті (4)).

Щодо першого з цих двох питань, здається, майже ніхто не помітив, що Платон, проявляючи великий інтерес до проблеми ірраціональності, не став би запроваджувати дві ірраціональні величини √2 та √3 (про які він недвозначно говорить в уривку 54 b), якби він не прагнув представити саме ці ірраціональні числа як неподільні далі елементи його світу. (Ф. Корнфорд у своїй книжці «Космологія Платона» на ст. 214 та ст. 231 довго обговорює обидва ці питання, але запропоноване ним розв'язання обох проблем — чи «гіпотеза», як він називає його на ст. 234, — здається мені абсолютно неприйнятним. Якби Платон насправді прагнув досягти певної «традиції», подібної до тієї, що розглядається Корнфордом — хоча Платон ніде не натякає на існування чогось меншого за те, що Корнфорд називає «ступенем В»,— то йому було б досить поділити пополам сторони елементарних квадратів та рівнобедрених трикутників, які Корнфорд називає «ступенем В», побудувавши кожний із них з чотирьох елементарних фігур, що не містять у собі ірраціональних величин.)

Втім, якщо Платон прагнув запровадити ці ірраціональні величини у світ як сторони субелементарних трикутників, з яких складено все на світі, тоді він повинен був вірити, що в такий спосіб можна розв'язати проблему. А ця проблема, на мою думку, полягала у «природі (спільномірності та) неспільномірності» («Закони», 820 с). Звісно, цю проблему особливо важко було розв'язати на основі космології, побудованої на якомусь різновиді атомістичної теорії, оскільки ірраціональні величини не є кратними хоч якоїсь одиниці, що є виміром раціональних величин. Втім, якщо одиниці виміру самі виражені відтинками, що перебувають в «ірраціональних співвідношеннях», тоді можна пояснити цей украй важливий парадокс, адже такими одиницями можна виміряти як раціональні, так й ірраціональні величини, а існування ірраціональних величин перестає бути незбагненним чи «ірраціональним».

Проте Платон знав, що, крім √2 та √3, є й інші ірраціональні величини, оскільки в «Теететі» згадує про відкриття нескінченної послідовності ірраціональних квадратних коренів (в уривку 148 b він також говорить, що «подібні міркування справедливі й стосовно твердих тіл», проте це не обов'язково повинно стосуватися кубічних коренів, а може відноситись до діагоналі куба, тобто до √3). У «Гіплії Великому» він також згадує (303 b-с; див. Heath, op. cit., p. 304) той факт, що шляхом додавання (чи інших арифметичних дій) ірраціональних величин можна здобути інші ірраціональні числа (але також і раціональні; тут Платон, певно, натякає, що, наприклад, 2-√2 дорівнює ірраціональному числу, і навпаки, здобуте число, якщо до нього додати √2, звісно, даватиме раціональну величину). З огляду на ці обставини стає зрозумілим, що якби Платон хотів розв'язати проблему ірраціональності шляхом введення своїх елементарних трикутників, то він повинен був вважати, що всі ірраціональні величини (чи принаймні кратні їм числа) можна вивести шляхом додавання (а) одиниць, (б) √2 та (в) √3 і кратних їм чисел. Звісно, це було би помилкою, але в нас є всі підстави вважати, що на той час не існувало жодних доказів зворотного. А твердження, що є лише два різновиди атомарних ірраціональностей — діагоналі квадрата і куба — і що всі інші ірраціональні величини можна арифметичним шляхом вивести з (а) одиниць, (б) √2 та (в) √3, могло видатися досить вірогідним, зважаючи на відносний характер ірраціональних величин. (Я маю на увазі той факт, що ми можемо з цілковитим правом назвати ірраціональною як діагональ квадрата з одиничною стороною, так і сторону квадрата з одиничною діагоналлю. Слід також пам'ятати, що Евклід у X книжці, визначенні 2 і далі називає всі неспільномірні квадратні корені «спільномірними через їхні квадрати».) Отож, Платон цілком міг вірити у правильність цього твердження,